11054 가장 긴 바이토닉 부분 수열

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11054번: 가장 긴 바이토닉 부분 수열

가장 긴 바이토닉 부분 수열 성공

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문제

수열 S가 어떤 수 Sk를 기준으로 S1 < S2 < ... Sk-1 < Sk > Sk+1 > ... SN-1 > SN을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10} 은 바이토닉 수열이지만,  {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30} 은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

 

 

<풀이>

1. 풀이는 LIS와 가장 긴 감소 수열 풀이를 응용해서 풀 수 있다.

 

2. 주의할 점은, LIS를 구하고 조건의 부등호만 바꿔서 LDS를 구한다음 둘이 합치려면 합칠 수가 없다. 

 반례 {3,2,1,4,5,6}

 

3. 또한 처음에 여럿 실수하는 부분중에, 가장 긴 증가부분을 구하고 거기서부터 감소를 하면 되지 않을까 했지만, {1,5,4,2,3} 같은 경우 가장 끝이 가장 긴 증가 부분 수열이지만 감소를 구하면 

길이가 나오지않아 바이토닉을 구할 수 없게된다.

 

4. 또 다른 반례 {3,4,5,2,1} 이걸 통해 단순 LIS LDS를 합치면 안됨.

 

 

5. 풀이로 D1에서 LIS를 구하고, D2 역으로 긴 부분을 구한다음

 

a1, a2 , a3 , ......  i  ...... aN

 

각 a1부터 an 까지 두 길이의 합과 교차점을 빼주어

최대값이 되는 부분 (가장 긴 바이토닉 수열)을 찾아준다.

#include<iostream>
using namespace std;

int arr[1001];
int d[1001];
int d2[1001];

int main(void)
{
	int N;
	cin >> N;

	for (int i = 1; i <= N; ++i)
	{
		cin >> arr[i];
	}

	//LIS
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
	{
		d[i] = 1;
		for (int k = 1; k <= N; ++k)
		{
			if (arr[i] > arr[k] && d[i] < d[k] + 1)
			{
				d[i] = d[k] + 1;
			}
		}
	}

	//LDS
	
	for (int i = N; i >= 1; i--)
	{
		d2[i] = 1;
		for (int k = N; k >= 1; k--)
		{
			if (arr[i] > arr[k] && d2[i] < d2[k] + 1)
			{
				d2[i] = d2[k] + 1;
			}
		}
	}
	
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
	{
		if (ans < d[i] + d2[i] - 1)
			ans = d[i] + d2[i] - 1;
	}
	cout << ans << '\n';

	return 0;
}